本文根据渔阳博客整理而成，作者客居美国，精通算术、赌博和投资，好读书，爱琢磨，著有《乱世华尔街》一书。
赌博与投资系列之一：
活着最重要
讲到赌博和投资，人们通常都急于学会赚钱的招数，其实我个人认为赚钱方法是不容易学的，需要很多经验和悟性。 初学者要迅速提高“段位”，倒是应该重点先练练防守。防守是有一定套路，可以学习的。在我看来，赌博和投资取得成功的先决条件都是要做好防守，保住本钱，然后耐心等待真正的机会。 总而言之，绝对不能在革命胜利前牺牲。别以为这很容易做到，且不说我们周围那些“发财未遂身先死”的赌友股友，即便在投资界绝顶高手中，从云端跌落者也大有人在。且看几个例子：
杰西-利弗莫尔：《股票作手回忆录》中的主人公，投机界不世出的天才，从白手起家一直做到1929年时的一亿美元身价，最终申请破产，并于数年后自杀。
约翰-麦瑞威瑟：曾是王牌投行索罗门兄弟公司的超级交易员，后来创建了群星荟萃的长期资本对冲基金（LTCM），一度拥有40亿美元的庞大资本，却在1998年俄国债券危机中几乎损失殆尽。（《乱世华尔街》中有关于LTCM危机的详细分析。）
管金生：1988年创办万国证券，曾被誉为“中国证券之父”，却在1995年“3.27国债事件”中马失前蹄，以致身陷囹圄。
唐万新：曾经统帅德隆系企业集团，傲视中国资本市场，终因资金链断裂导致德隆帝国土崩瓦解。
上述诸人都可称是资本市场的奇才，最终却都失败了。 他们的经历告诉我们：不注意控制风险，就会发生《渔夫和金鱼》中的那一幕：努力奋斗当上了教皇，结果又变回了海边的小木屋。
活着最重要。
赌博与投资系列之二：
没有把握，绝不出手
很多年前，我经常从纽约的中国城坐“发财大巴”去大西洋赌城，同车的多是在餐馆发廊里打工的劳动人民。他们大都期望在赌场里改变命运，结果却往往是送掉了微薄的薪水。记得有一次，邻座的女孩说她每个星期都去赌场玩百家乐，还有一套取胜秘诀云云。回程的时候聊天，我赢了800美元，她输了4000。我顿时兴致大减，4000美元应该是她一个多月的收入！看着满车衣着简朴的同胞，我忽然感到很悲哀，痛恨那些做发财大巴生意的人，简直是送羊入虎口！我试图告诉女孩玩百家乐会“久赌必输”，但她不肯相信，说这次只是“运气”不好，下个星期再去翻本。
我无语，太多失败的人把“运气”当做借口。 一把输赢确实是运气，10000把输赢就是大数定理（胜率大者几乎必胜）。在赌场中那些庄家稳操概率优势的游戏中反复下注，输光岂非只是时间问题？ 所以有句话说：赌场不怕你赢，就怕你不来。
投资也是同样的道理。股市比赌场好一些，长期看应该是正回报的游戏。但是由于做庄、内幕交易、印花税等因素，普通投资者如果“赌”的太频繁，回报率很难跑赢大市，甚至可能“久赌必输”。所以，别相信市面上那些教人“快速致富”的所谓“秘诀”，99%是浮云，99%是忽悠。 最重要的招数不是怎么出招。
日本江户时代有位“剑圣”宫本武藏，曾与人决斗六十余次，未尝一败。 他除了技艺出众，还有个秘诀：从不和比自己厉害的人过招。
没有把握，绝不出手。
这就是赌客和投资者都必须牢记的第一招。
赌博与投资系列之三：
赌场的优势何在
上次说到，赌场不怕你赢，就怕你不来，因为赌场游戏基本都是“久赌必输”。 很多玩家迷信“运气”，而经营赌场的人相信概率，这就是输家和赢家的差别。
例如轮盘赌（见下图），博彩中玩家可以押任何一个数字，如果转盘上的小球正好停在这个数字上，赌场赔35倍。 听着很诱人对吧？ 电影《卡萨布兰卡》中那个从欧洲逃难出来的小青年接连押中几手22，去美国的旅费就有了。实际情况如何呢？我们来简单分析一下。
如果只有1-36这36个数字，那么玩家每次押1元，平均每36把赢一次，赢的35元正好抵消另外35把输的钱。但赌场在轮盘左边加了个“0”，玩家的赢面变成了1/37，赢的35元不足以抵消另外36把输的钱，赌场占据了1/37 = 2.70%的概率优势，也就是说玩家每押100元，平均要输2.7元。这还是“仁慈”的欧洲式轮盘赌，美国人觉得还不够黑，又加了个“00”（见下图）。 现在平均38把押中一次，玩家的劣势扩大了到5.3%。
除了押单个数字，轮盘赌还有押红黑等其他玩法。无论是1赔35的单个数字，还是1赔1的押红黑，赌场的赢面都一样。 但两者之间仍有个重要差别：押单个数字的输赢波动显然比押红黑大的多。 此处先简单提一句：赢面和波动性是赌博和投资中极为关键的两点。 “久赌必输”的赌博最好不要碰，实在要玩就挑输赢波动性大的；“久赌必赢”的投资则应该选波动性小的。关于这个原理，后文将详细讨论。
回到赌博，绝大部分赌场游戏都设计的和轮盘赌类似：赌场拥有概率优势。 这些游戏中，玩家如果只玩几手还可能靠“运气”赢点钱，长期玩下去几乎必输，数学中称之为“大数定理”（Law of Large Numbers）。
然而赌场机关算尽，还是被数学家找到了一处破绽。
赌博与投资系列之四：
21点的老故事
1960年代初，一位名叫索普（Edward Thorp）的美国数学家利用刚出现不久的计算机找到了21点游戏中的机会，发展出一套通过计牌（card counting）打败赌场的方法。索教授理论付诸实践，用自己的计牌法连连大胜赌场，很快上了黑名单，眼看赌不成了，于是索某人就写了一本书！
索普的《战胜庄家》（Beat the Dealer）狂销70万册，荣登《纽约时报》畅销书榜（想起了我的《乱世华尔街》，惭愧中……），版税收入远远超过了赌博所得。 这也再次说明一个道理：卖铲子比挖金子容易赚钱。
索普计牌法的原理并不难。先讲讲21点的规则：玩家和庄家（赌场）对赌，看谁手中牌的点数之和更接近（但不能超过）21点。10，J，Q，K都算十点，2至9 按各自点数计算，A可以算1点也可以算11点。 例如下面的一手牌可以算8点，也可以算18点。
牌局开始，玩家和庄家各发两张牌，庄家的牌一明一暗（例如下图）。 然后玩家先做决定：可以抓牌，做加倍等特殊行动，或在任何时候选择“停”。如果玩家超过21点（爆牌）就直接输了，否则“停”后轮到庄家行动。 庄家不能“见机行事”，只能按固定规则：手中的牌达到17点或以上必须“停”，否则必须抓。最后双方比谁的牌更接近21点。
此外还有个特殊规定：一张A和一张十点牌（10，J，Q，K）叫“黑杰克”（Blackjack），拿到者直接取胜。 如果玩家拿到黑杰克，可赢取1.5倍筹码。庄家拿到黑杰克只能赢取1倍筹码。
很明显，21点游戏中庄家和玩家各有优势。 庄家的优势在“后发制人”：玩家如果先爆牌，庄家可以不战而胜。而玩家的优势在于灵活机动，可以根据自己的牌和庄家暴露的那张牌决定战术。此外，黑杰克3：2的赔率也有利于玩家。
十点牌和A越多，出现黑杰克的机会越多，也越容易爆牌，玩家“机动灵活”的优势更有价值。反之，3，4，5，6等小牌越多，爆牌的可能性越小，对庄家比较有利。索普时代的21点多用1副或2副扑克牌，当牌刚洗好时，赌场占据0.5%左右的概率优势。 妙处在于，随着牌局进行，某些时候大牌和A的比例会变高，概率会转为对玩家有利。索普战胜赌场的方法就是：通过计牌估算概率，当形势有利时下大赌注！
一代宗师索普发明了计牌法，又写了一本畅销书，然后大彻大悟，上华尔街发财去了，后来又在对冲基金领域闯出了一片天地。索某达人也！
至于赌场这边，从此出现了一批掌握了索氏武功的“计牌客”(card counters)。 赌场方面想尽办法将计牌客拒之门外，计牌客们则挖空心思突破封锁。 猫和老鼠的游戏玩儿了几十年，90年代前后，江湖上又出了一桩奇事。
（请放心，故事讲到最后一定会回到投资上。）
赌博与投资系列之五：
MIT计牌团伙
话说索普之后，赌场多了个抓计牌客的麻烦事。时间一长，赌场方面逐渐积累了一个黑名单。 如果名单上的人在21点牌桌上被认出来，通常会马上被“礼送出境”：您上别处玩儿去吧！
八十年代某个时期计牌“案件”高发，赌场雇来的侦探把各处收集的黑名单放在一起研究，发现了一条重要线索：不少计牌客的住址都在麻萨诸塞州剑桥市附近！麻省剑桥您也许没听说过，但位于此地的两所大学您不可能没听说过：哈佛、麻省理工（MIT）。难不成那帮研究相对论的智力超常同学们盯上了赌场？
后来真相逐渐浮出水面，果然有个以MIT学生为主的计牌团伙！这是个“商业化”运作的组织：有人出赌本，有人负责管理，有人上阵计牌，整个“投资”和“风险控制”模式颇有对冲基金的风范。 团伙“作案”的最大好处是可以避免单个赌客面临的风险：21点输赢波动性很大，任你技术再高，短期内运气不好也可能输光赌本，集团作战能分散这种风险。此外，MIT赌客们还使用了某些“多人战术”。 比如，迈克尔负责计牌，每把只押小注，当形势有利时就抛出预先约好的暗号，此时扮作阔少的詹姆斯走过来，一把押1000美元。
MIT团伙前后运营了十几年，MIT和哈佛等学校都有人参与，其中还有得过奥赛金牌的中国人。铁打的营盘流水的兵，反正麻省剑桥一带最不缺的就是数理天才。该团伙的盈利据说以百万美元计，后来还有个作家专门把MIT团伙的事迹添油加酱写成了一本书，也上了《纽约时报》畅销书榜 —— 又一个卖铲子挣钱的。
到了九十年代中期，美国经济一片荣景，团伙成员们纷纷前往硅谷、华尔街等处发展，MIT计牌团伙也就渐渐风流云散了。这似乎也证明了一个道理：年轻人有正经事做，“犯罪率”就会降低。
又过了若干年，来自中国的渔阳同学偶然接触到21点计牌这回事，大感兴趣。我那时候土，没听说过索普，也不知道索宗师的书只卖十几块钱一本，花了100美元从一个叫卡多萨的大忽悠手里买了本所谓“秘籍”。虽然被卖高价铲子的宰了一刀，毕竟是有了铲子，我也要去赌场挖金了！
但此时的江湖，已不是当年的那个江湖了。
赌博与投资系列之六：
关于赌注的困惑
学会了计牌方法后，我兴致勃勃地前往拉斯维加斯小试牛刀。 结果还真不错，赢了厚厚的一叠百元大钞，这21点还真是个金矿啊！我住在纽约，不可能总去拉斯维加斯挖金，好在纽约附近也有美国第二大赌城大西洋城，于是我就成了那儿的常客。赌了一段时间后，我渐渐发现大西洋城的“金砂”不好淘，我总体上只能小胜，而且输赢的波动性很大。仔细研究了一番之后我才发现：这大西洋城跟拉斯维加斯可不一样。
前面讲过，计牌客主要是看大小牌在剩余牌张中的比例，大牌比例高于正常时就下大赌注。显然，在两种情况下比例最容易变高，第一种是剩余牌不多的时候，第二种是21点游戏只使用1-2副牌时。 索普时代的21点赌局正好具有这两个特点：只用1-2副牌，而且发牌员（dealer）会将牌几乎用光才洗牌，所以大牌比例时常变高，计牌客有很多机会在形势有利时下大注。
赌场方面自然也有高人出谋划策，明白对计牌最好的“软防御”就是设法控制大小牌比例的波动，于是赌场就使出了两条毒计。 第一是增加21点的用牌，从1-2副普遍改为6-8副。很明显，牌一多，大小牌比例就不容易变。第二是提早洗牌，避开比例最容易波动的情况。拉斯维加斯赌场多，竞争激烈，赌场为了揽客还保留了一些1-2副牌的21点游戏，我赢钱主要就是在那些赌局中。而大西洋城地理位置得天独厚，纽约、华盛顿、费城三个人口密集区的赌客都往那跑，赌场不愁没生意，因此21点游戏的规矩特别“黑”：基本都是8副牌，而且洗的很勤。大小牌比例变高的频率低了，自然也就不容赢钱了。
原来我的江湖，已不再是索普当年的江湖。
虽然如此，但比例还是有变高的时候，我对赌场也还有赢面。前面讲过“大数定律”：只要有赢面，理论上讲一直玩下去最后还是我赢。 但理论归理论，实践中有个重要制约：我的赌本有限，输光了就不能玩儿了。大数定律只是说“革命最终会胜利”，可没担保你不会在“革命胜利前牺牲”。21点输赢波动性那么大，要是赶上一只“黑天鹅”（Black Swan, 指微小概率事件）不就“光荣”了吗？
假设我只有一万美元赌本，好不容易等到我方对赌场占据了1%的概率优势，现在发牌员说：
“Place your bets.”（请下注。）
我押多少呢？20美元？ 平均才赢2毛钱，没啥意思。押2000美元？ 赶上一只不太黑的天鹅（连输5把）我就输光了。看来20美元太少，2000美元太多，最佳赌注应该在两者之间。究竟应该押多少呢？
一位高人早就给出了答案。
（逐渐要讲到投资理论了。）
赌博与投资系列之七：
凯利公式
上次说到，形势有利时如何下注很需要技巧。押太少了浪费机会，押太多了“牺牲”的风险大增。 什么才是不多不少的合适赌注呢？1956年，科学家凯利（John Kelly）就此发表了论文，提出了著名的凯利公式。
f* = (bp – q) /
其中，f* = 投注金额占总资金的比例
p = 获胜的概率
q = 失败的概率，q = 1-
b = 赔率，例如在轮盘赌中押单个数字，b = 35，押红黑，b = 1。
上篇中讲到的21点下注问题，假设总赌本10,000美元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1（实际胜率和赔率略有偏差，但相距不大），那么凯利公式给出的最佳赌注是：
$10000 * (1 * 0.51 – 0.49)/ 1 = $200
我知道很多人看到数学公式就头大，但要玩好赌博和投资没法不用到数学。最重要的不在于带公式计算数字，而是要弄明白公式背后真正的“意思”。
首先，公式中分子的bp – q 代表“赢面”，数学中叫“期望值”(expectation)，凯利公式指出：正期望值的游戏才可以下注，这是一切赌戏和投资最基本的道理，也就是前面讲的“没有把握，决不下注”。
其次，赢面还要除以“b”才是投注资金比例。 也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注。 这一点不容易直观理解，我们用个例子来说明。下面三个正期望值的游戏，你看看选哪个：
1.“小博大”：胜率20%，赢了1赔5，输了全光。bp – q = 5*20% – 80% = 20%
2.“中博中”：胜率60%，1赔1。bp – q = 1*60% – 40% = 20%
3.“大博小”：胜率80%，1赔0.5。bp – q = 0.5*80% – 20% = 20%
三个游戏的数学期望值一样，都是20%，或者说押100元平均赢20元。按大部分国人的赌性，恐怕会选“小博大”游戏吧？ 但是用凯利公式中的“b”一除，“小博大”游戏只能押总资金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。 赢钱速度“大博小”快多了！ 前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗？ 说的就是这个了。
现实中，爱玩“小博大”的多半是赌客。谁爱玩“大博小”呢？ 赌场！ 华尔街的职业投资家们很多玩的也是“大博小”，因为便于使用杠杆（押大赌注）。 关于这点后面还要详细讲。
最后，凯利公式指明了风险控制的至关重要性：即便是正期望值的游戏也不能押太大的赌注。从数学上讲，押注资金比例超过了凯利值，长期的赢钱速度反而下降，还会大大增加出现灾难性损失的可能性。 举个极端的例子，如果你每手都押上全部资金，那么不管你赢过多少钱，只要输一次就立刻破产。正所谓：辛辛苦苦几十年，一夜回到解放前。
为什么投资界赔到倾家荡产的尽是一些局部技术不错的老手呢？ 原因多半在“赌注太大”。 上世纪初有位大宗师级别的投机客一世英名就毁在了这上面。
赌博与投资系列之八：
利弗莫尔败走麦城
在凯利公式问世16年前的1940年11月28日，一位曾经威震华尔街的独行侠在纽约沃尔道夫饭店的衣帽间里拔出了手枪，他匆匆给妻子留下了一张便条：“……我已厌倦了战斗……这是唯一的解脱。”然后饮弹自尽。
杰西-利弗莫尔（Jesse Livermore），不朽名著《股票作手回忆录》的主人公，就这样悲凉地结束了传奇的一生。
如果你还没看过《股票作手回忆录》（Reminiscences of a Stock Operator），我强烈建议补上这一课。不少世界级的对冲基金经理都极为推崇此书。跟随主人公的人生起伏，你可以领略百余年前纷乱而又生机勃勃的美国金融市场的风貌，并惊诧于世间竟有利弗莫尔这般奇才。他身处“原始时代”，居然总结出了许多现代投资者奉为经典的规律：诸如赚钱时才可加码，亏钱时应当止损，不要轻信他人观点或所谓“内幕消息”，以及一套完整的“坐庄”手法。更令人叹服的是，利弗莫尔不但是理论家，而且是实践家。他的交易人生几起几落，从白手起家到1907年时的数百万美元身价，再到1929年时的1亿美元身价！那时汽车才卖几百美元一辆，利弗莫尔完全靠交易赚到的1亿美元相当于今天的100亿美元以上！
这样一位不世出的奇才后来却在市场上尽失巨额财富，最后演出了本文开始时那悲凉的一幕。利弗莫尔是怎么走的麦城呢？文献并无具体记载，但如果仔细分析他的交易习惯，就不难发现蛛丝马迹。
利弗莫尔的交易生涯始于Bucket Shop（可意译为“股票赌场”）。19世纪末，美国股票市场十分活跃，而技术进步使远离纽约的普通人也有机会“实时”参与股票投机：与电报线相连的自动报价机可以随时将纽约交易所的最新成交价传遍全国。当时很多人想参与投机，但缺乏买卖股票的资金，奸商们借机将这批人吸引到“股票赌场”。赌场中有自动报价机，玩家们似乎在交易股票，实际上是在赌大小。举个例子，某股票的最新报价是80美元，玩家只需交纳1美元保证金就可以买“大”，如果报价机上出现了79美元或更低的价格，那么对不起您输光了；如果报价机上打出了81美元，玩家可以兑现1美元盈利，也可以继续等。
股票赌场的奸商们怎么赚钱呢？ 除了利用群众们经常押错的特点外，他们还串通某些券商操纵市场。比如在80美元的价位上很多玩家押了“大”，赌场庄家就指使纽约交易所的同伙打压股价，只要自动报价机上打出一个79美元的价格，赌场就通吃了押大的筹码。
当时还很年轻的利弗莫尔没什么钱，在股票赌场里混，逐渐练就了根据报价预测市场价格(Read Tape)的本领。那时候没有电脑，更没有实时K线图，利弗莫尔的“读盘”功夫实际就是技术分析的原型。但我很怀疑他也在股票赌场里养成了“坏毛病”：押注太大。
从凯利公式的角度分析，股票赌场的超低保证金其实是赌徒们的“杀手”。 杠杆那么大，押注远超凯利最优值，输光是迟早的事。那时的美国正规金融市场的交易保证金也很低。利弗莫尔后来的交易经历表明，他一直保持了超大赌注的风格。读他的交易历程简直令人心惊肉跳，股票、棉花、大豆，不管什么都是超高杠杆全仓操作，这固然成就了利弗莫尔的传奇伟业，也令他数次破产。所幸几次都有贵人相助，利弗莫尔才得以抓住1907年，1915年和1929年几次重要机会屡攀高峰。但智者千虑、终有一失，我很怀疑正是“押注太大”的毛病令利弗莫尔在身价达到1亿美元的短短数年后就输光了所有钱。最后一次，他没能东山再起。
如果利弗莫尔将基于凯利公式的资金管理方法和他高超的市场把握能力结合在一起，这位天才会创造出怎样的奇迹呢？
历史没有如果。利弗莫尔已如流星划过，也许他早生了几十年。 资金管理和风险控制的理论在50年代才开始成型。 凯利公式指出：赢面大、波动性小的游戏可以押较大赌注。 那么如何量化“赢面大，波动性小”呢？ 与凯利同时代的一位学者提出了一个著名的指标。
赌博与投资系列之九：
夏普比率
上次谈到，评估投资机会的优劣应该从收益期望和风险两方面综合考虑。如何量化这一思想呢？1950年代，有人提出用回报期望和波动性的比例作为衡量投资机会的指标。1966年，学者夏普（William Sharpe）在此基础上提出了著名的夏普比率（Sharpe Ratio）：
S = (R – r) / σ， 其中：
R = 投资的回报期望值（平均回报率）
r = 无风险投资的回报率（可理解为投资国债的回报率）
σ = 回报率的标准方差（衡量波动性的最常用统计指标）
夏普比率S越高，投资机会的“质量”越高。 举个例子：
甲投资：超额（超出国债）回报期望10%，标准差20%，夏普比率为0.5
乙投资：超额回报期望5%，标准差5%，夏普比率为1
乍一看，甲投资回报期望高，似乎是比较好的机会。其实乙投资更胜一筹（通常情况下），因为它的夏普比率高，意味着投资者用1个单位的“风险”能换取更多的回报期望。从杠杆投资的角度也可以得出同样的结论：假设投资者以r贷款利率融资，在乙投资机会上加1倍杠杆，那么“杠杆化”的乙投资就变成了10%回报期望，10%标准差，与甲投资的回报期望相同，而风险较小。
夏普比率多高才算“好”呢？ 我们来看一个实际的例子：美国股市的长期年平均回报率约为10%，波动性约为16%，无风险利率约为3.5%，因此夏普比率约为0.4（来源：维基百科）。 翻译成白话就是：投资美股指数的年均回报率约比无风险利率高6.5%，但平均6年中有1年的回报率低于 -6%（1倍标差之外）。对于长线投资的散户而言，投资美股的风险/回报还算说的过去。 如果是对冲基金经理，这样的夏普比率就太低了：假设你的目标是20%年回报率，就必需用2.5倍杠杆（回报期望 = 2.5*10% – 1.5*3.5% ≈ 20%），也就意味着平均6年中有1年的回报率将低于2.5*（10% – 16%）- 1.5*3.5% = -20%。你赔了超过20%，客户大概就要跑光了。
一般说来，夏普比率超过1才是“好游戏”。这种机会在“简单投资”中并不多见，因此职业投资者常常利用对冲手段“改造”投资游戏，提高夏普比率。《乱世华尔街》中多次提到，对冲与杠杆是一对孪生姐妹，两者往往配合使用，说得就是这个原理。例如，你发明了一种方法，用各种资产相互对冲得到夏普比率为2的投资机会，那你就可以大胆加杠杆（数学好的同学们可以自己计算赔钱的概率），投资者大概要追着给你的对冲基金投钱了。但对冲+杠杆的投资方法通常有个“练门”：需要借很多钱，对流动性要求高，因此遇到突发性危机往往会出问题，《乱世华尔街》中就分析过LTCM和高盛Global Alpha基金的例子。
夏普比率也存在缺陷，它假设回报是正态分布，而实际的投资回报分布有“肥尾”（赔大钱的概率高于正态分布的估计），因此单纯根据夏普比率挑选投资机会存在问题，也容易被“操纵”。这个话题此处暂不展开讨论。
对普通投资者而言，夏普比率提示要从风险和回报的角度综合考虑，挑选“性价比”高的投资。这正是前面的文章中提到的观点：正回报的游戏要挑波动性小的，负回报的游戏如果非得玩，就挑波动性大的。总之，夏普比率越高越好。
夏普比率讲的是如何挑选“游戏”，而凯利公式讲的是选好了游戏后如何下注才能取得最优的长期回报率。 现在我们就把两种方法配合起来使用，看看21点计牌到底是不是条发财的路。
赌博与投资系列之十：
关于夏普比例的补充说明
第一个问题：关于美国股市的那个例子中，“平均6年中有1年的回报率低于 -6%”是怎么算出来的？
夏普比率假设投资回报符合正态分布（见下图）。 从数学上说，大量独立随机事件之和一般符合正态分布。 例如不停地扔硬币，正面为1，反面为-1，大量重复后结果之和就符合正态分布。 前面的博客提到过，学术界流行“有效市场理论”：股市每一步运动方向都是独立随机的，相当于不断“扔硬币”，最后回报率当然就符合正态分布。再讲下去就是数量金融的基础课《随机过程》了，就此打住。
正态分布的假设虽不完美，但不失为理解问题的基本框架。下图显示了正态分布的概率数值。例如，回报率在0倍到0.5倍标准差之间的概率为19.1%（图中绿色部分）。同理，回报率低于-1倍标准差（图中橙色部分）的概率约为16%。应用于美国股市（回报率中值10%，标准差16%），年回报率低于-1倍标准差，即10% – 16% = -6%的可能性约为1/6。“平均6年中有1年的回报率低于 -6%”就是这么估算出来的。
第二个问题：夏普比率的假设有没有不符合实际之处？
当然有。正态分布的假设就不完美。实际上，股市运动不完全“独立随机”，否则我们就不需要费心研究什么规律了。例如在金融危机中，股市运动有很强的序列相关性（serial correlation），即所谓“趋势”，导致实际的股市回报有“肥尾”现象，就是说“跑到极端位置”的可能性高于正态分布的估计。 另外，夏普比率中的“无风险回报率”r是个模糊的概念，投资者的融资成本也不是r。 再有，波动性的测算也并非简单问题。 其他不一一介绍了，已有N多学术论文讨论夏普比率的局限性及改进方案。
第三个问题：夏普比率对普通投资者到底有什么用处？
主要是思维上的启示：投资不能只看回报率，还要看担多少风险。下次再有人告诉您“我过去三年平均回报30%！”的时候，您可以“弱弱”地问一句：“波动性多大？”。下篇博客中，我们来看一个对冲基金的真实例子。
赌博与投资系列之十一：
对冲基金业绩的分析实例
上次谈到，评估投资绩效不能只看回报率，还要考虑风险因素。 现在我们就来看一个对冲基金的实际例子。 下表是几个知名大型对冲基金的平均年回报率（资料来源：汇丰银行研究报告）。 这些基金管理资产均在10亿美元以上，开业时间均在5年以上。 您会把钱投给哪家基金呢？
您会选年回报率79%的基金D，对吗？ 恭喜，您选中的正是在金融危机中大举做空次贷类产品，豪取几十亿美元利润，出尽风头的Paulson Credit Opportunities Fund。 创建并管理该基金的保尔森（和前任美国财长保尔森同姓，但没有亲属关系）也一举成为最著名的基金经理之一。
但我们刚刚讨论过：不能只看回报率，还要考虑风险。表2中列出了各基金的波动性和夏普比率估值（假设无风险回报率为3%），您看过之后有何想法？
从波动性和夏普比率的角度一分析，情况有点复杂了。基金C回报率虽然只有15%，但波动性不到5%，因此夏普比率高达2.7，竟比保尔森基金的1.5高出近一倍！ 换言之，基金C的波动性只有保尔森基金波动性的十分之一，假设投资者只愿意承担固定的波动性风险，那么他可以投资1元在保尔森基金或10元在基金C，风险都差不多，而投资基金C的总回报更高！
基金C是Millennium Intl Ltd（千禧年基金），对冲基金业界的常青树，旗下经理中曾有若干华裔高手。站在投资者角度，到底是选“赚得狠”的保尔森基金，还是选“赚得稳”的千禧年基金，还真有点难以取舍。另外，基金A和基金B的夏普比率都明显高于美国股市的0.4，也是不错的投资选项。而基金E的回报率竟低于无风险利率，“境界”太低了。
再进一步分析，仅用夏普比率做比较，好像对保尔森基金“不太公平”：它的波动性虽然高，但主要是“向上波动”，在盈利嗖嗖涨的过程中产生的“波动性”，其实并非风险。 投资者怕的是赔钱，尤其是一下赔掉百分之几十。 所以衡量风险还应该考虑“最大跌幅”，即各基金历史上从最高点“回落”的最大比例，见表3。
现在更有意思了，基金A（Bluecrest Capital）的最大跌幅只有不到5%，而且发生在2003年。 该基金在2007-2008年的大危机中竟然避免了重大损失，相当有吸引力。Bluecrest 和千禧年都属于“赚得稳”类型，都躲掉了次贷危机，两者似乎难分伯仲。它们和保尔森基金相比，可谓春兰秋菊、各擅胜场，因此三支基金都是机构投资者青睐的对象，管理资金分别达到86亿美元，100亿美元和63亿美元。看来人家能“做大”是有道理的。（注：不少“名牌”基金为保持回报率，已不再接收新投资。）
基金E（Drake Absolute Return Fund）也曾是管理数十亿美元的大型基金，但它在金融危机中遭到了50%以上的巨大损失，令投资者失去信心，纷纷撤资，所以Drake现今管理的资本已只有2亿美元。 可见，不管做的多大，如果不注意风险也可能“一夜回到解放前”。 前文中讲了利弗莫尔，此处的Drake也是活生生的例子。
最后来看看基金B，它的长期年复合回报率15%，夏普比率1，综合指标不错，虽然在2008年一度遭到27%的损失，但已成功渡过危机。 可以说基金B具有相当实力，因此它也成为管理10几亿美元的大基金。 该基金的名字是FORE Capital（前沿资本），瓢把子Matthew Li（黎彦修）是华人在对冲基金界的一面旗帜。
从这个评估投资业绩的真实例子，我们可以看到夏普比率和最大跌幅等风险指标的用处。 初学投资者常有只重回报、不看风险的毛病。 凯利公式也好、夏普比率也好，其实都告诉我们一件事：要在回报和风险之间寻找平衡。
文章内容仅供参考，不构成投资建议，股市有风险，投资需谨慎。